- 4.[a,b]上f(x)≥0,∫f(x)dx=0,证明?
- 4.[a,b]上f(x)≥0,∫f(x)dx=0,证明[a,b]上f(x)≡0
- 题目好象有点问题，似乎应该加上条件f(x)在[a,b]上连续，否则结论不成立。例如：
f（x）定义在[0，10]上，当x∈N时f（x）=x，其余为0，显然满足条件[0,10]上f(x)≥0,∫<0,10>f(x)dx=0，但f(x)≡0 不成立。
如果加上条件f(x)在[a,b]上连续，证明应该是比较简单的：
假设在x1处f（x1）=C>O，则在x1附近存在[a1,b1]（[a1,b1]包含于[a,b]），在[a1,b1]上f（x）≥C/2，同时[a,b]上f(x)≥0，从而∫f(x)dx≥（∫f(x)dx≥（C/2）*（b1-a1）>0，与条件矛盾，所以f(x)≡0。