- 数分原理第二章第七题
- 记集合A闭包为(A)。
a.
(1)
A(i)是B(n)的子集，
所以C(A(i))是C(B(n))的子集，
则∪{1≤i≤n}C(A(i))是C(B(n))的子集。
(2)
任意x∈C(B(n)),则有∪{1≤i≤n}A(i)的序列，{x(k)，k>0}
使Lim{k→∞}d(x,x(k))=0,
至少有一个i,使A(i)中有{x(k)}的子列{x(k(j)),j>0},
由于有Lim{j→∞}d(x,x(k(j)))=0,所以
x∈C(A(i)),则x∈∪{1≤i≤n}C(A(i))，
因此C(B(n))是∪{1≤i≤n}C(A(i))的子集。
==》
C(B(n))=∪{1≤i≤n}C(A(i))。
b.
(1)
A(i)是B的子集，
所以C(A(i))是C(B)的子集，
则∪{1≤i}C(A(i))是C(B)的子集。
(2)
另外不一定有等号，如：
取A(i)={1/i},
==>C(A(i))={1/i}
==>
∪{1≤i}C(A(i))={1/1,1/2,..,1/i,..}，
但C(B)={0,1/1,1/2,..,1/i,..}.