- 几道题各位老师帮忙解答下谢谢
- 解：1.由limsin[π√(n²+n)]
=lim[(-1)^n]sin[π√(n²+n)-nπ]
=lim[(-1)^n]sin{π√n[√(n+1)-√n]}
=lim[(-1)^n]sin{π√n/[√(n+1)+√n]}
=lim[(-1)^n]sin(π/2)
故原极限==lim[(-1)^n]²sin²(π/2)=1
2.(1+1/n)^n-e=e^[nln(1+1/n)]-e=e{e^[nln(1+1/n)-1]-1}
nln(1+1/n)-1=[ln(1+1/n)/(1/n)]-1→0(当n→∞时)
故由等价无穷小代换e^x-1～x，得
e^[nln(1+1/n)-1]-1～nln(1+1/n)-1
由麦克劳林展开式知，
[ln(1+x)/x]-1={[x-x²/2+o(x²)]/x}-1=-x/2+o(x)
取x=1/n，得
故(1+1/n)^n-e=e{-(1/n)/2+o(1/n)}=(-e/2)(1/n)+o(1/n)
故原极限
=[lim(1+1/n)^n]{lim[(1+1/n)^n-e]/(1/n)}
=e(-e/2)=-e²/2