- 一道数列难题[急]设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x^2
- 设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x^2-an*x-an=0有一根为Sn-1，n=1,2,3....
(1)求S1,S2,S3:
(2)由(1)猜想{Sn}的通项公式，并证明之。
an:n在a的坐下角，相当An
请写详细答案~~
先说声谢谢了~~
- 设数列{an}的前n项和为Sn，
且方程x^2-an*x-an=0有一根为Sn-1，n=1,2,3....
(1)求S1,S2,S3:
方程x(x-an)-an=0(*)
n=1时,方程有一根a1-1
(a1-1)(-1)-a1=0,a1=1/2,S1=1/2
n=2时,方程有一根为S2-1=S1+a2-1=a2-1/2
(a2-1/2)(-1/2)-a2=0,a2=1/6,S2=2/3
n=3时,方程有一根为S3-1=S2+a3-1=a2-1/3
(a3-1/3)(-1/3)-a3=0,a3=1/12,S3=3/4
(2)由(1)猜想{Sn}的通项公式，并证明之。
猜想an=1/n(n+1),Sn=n/(n+1)
由已知,方程有一根为x=Sn-1=-1/(n+1)
-1/(n+1)-an=-1/(n+1)-1/n(n+1)=-1/n
代入方程(*)
左边=x(x-an)-an=[-1/(n+1)](-1/n)-[-1/n(n+1)]=0=右边
方程成立
由此证明猜想Sn=n/(n+1)正确