双曲线在线等已知双曲线过点P(3,4),它的一条渐近线方程为2x
已知双曲线过点P(3,4),它的一条渐近线方程为2x+y=0 (1)求双曲线的方程和它的半焦距的长 (2)在双曲线上是否存在这样的点M,它到两渐近线的距离之积等于或超过双曲线的半焦距的长？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由
(1) ∵ 双曲线的渐近线方程为x^-(y^/4)=0，∴ 设双曲线方程为x^-(y^/4)=λ，已知双曲线过点P(3,4), ∴ λ=3^-(4^/4)=5.∴ 双曲线的方程为(x^/5)-(y^/20)=1, 它的半焦距的长=5 (2) 设M(x',y'),它到两渐近线的距离之积=(|2x'+y'|/√5)×(|2x'-y'|/√5)=[4(x')^-(y')^]/5…(*) ∵ [(x')^/5]-[(y^)/20]=1, ∴ [4(x')^-(y')^]=20,把它代入(*)式得,点M到两渐近线的距离之积=4<5, ∴ 在双曲线上不存在这样的点M,它到两渐近线的距离之积等于或超过双曲线的半焦距的长.