- 设函数F(x)对于任意的实数x,y∈R,都有f(x+y)=f(x?
- 设F(x)对于任意的实数x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2
1. 证明：f(x)为奇函数
2. 证明：f(x)在 R上为减函数
3. 若f(2x+5)+ f(6-7x)>4,求x的取值范围
- 利用f(x+y)=f(x)+f(y)及当x>0时,f(x)<0
1、f(-x)=f(x-x-x)=f(x)+f(-x-x)=f(x)+f(-x)+f(-x)=f(x)+2f(-x)
==> f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数。
2、对任x∈R与h>0，f(x+h)-f(x)==f(x)+f(h)-f(x)=f(h)<0，
所以f(x)在 R上为减函数。
3、因为f(x)为奇函数，f(1)=-2，所以f(-1)=-f(1)=2
==> f(-2)=f(-1-1)=f(-1)+f(-1)=2+2=4
又f(2x+5)+ f(6-7x)=f(2x+5+6-7x)=f(11-5x)
所以不等式f(2x+5)+ f(6-7x)>4就是f(11-5x)>f(-2)
由f(x)在 R上为减函数，得到11-5x<-2 ==> 5x>13 ==> x>13/5