- 数学素数表达式
- 素数表达式
- 用k,m,n,表示数，用Pk 表示非负整数，设一数列：
An ＝2n－1，
⑴当n＝3k＋(2k＋1)Pk ＋2时，x都表示为合数；
⑵当n≠3k＋(2k＋1)Pk ＋2时，x表示为1或奇素数。
证明：由给定的数列可知，
当n为3k＋（2k＋1）Pk ＋2时，x为合数，从具体的计算可知。
当k＝1， Pk ＝0时， n＝ 5， 2n－1＝2× 5－1＝3×3；
当k＝1， PK ＝1时， n＝ 8， 2n－1＝2× 8－1＝3×5；
当k＝2， Pk ＝1时， n＝13， 2n－1＝2×13－1＝5×5；
当k＝2， pk ＝2时， n＝18， 2n－1＝2×18－1＝5×7；……等等。
在数列 An＝ 2n-1中，第一个奇素数就是3，从第一个奇素数开始对后数，每隔3个数必能被3整除，因为奇素数3是等差数列中的第二项，所以2+3m项，必是合数。
在数列 ＝2n－1中，第二个奇素数是5，以5为起点，向后数，每隔5项必是奇合数。因为奇素数5是等差数列中的第三项，所以 3＋5m项必是合数。
又当m＝1时，An ＝2n－1＝2（3＋5×1）－1＝15，而15＝5×3，从数15这一项开始，即从第八项开始，以后向后每数三项或五项，这个数必是奇合数，亦即：
x＝2（8＋3m）－1＝15＋ 6m＝3（5＋2m）；
或x＝2（8＋5m）－1＝15＋10m＝5（3＋2m）。
按此法类推，数列中出现以下各项都是奇合数，如下面的式子所示：
3 + 3 P1 + 2
6 + 5 P2 + 2
9 + 7 P3 + 2
…… …… …… ……
3k +（2k+1)Pk + 2
也就是说,当 n＝3k+（2k+1）Pk ＋2时,2n－1为奇合数。
这是因为：当n＝3k＋（2k＋1）Pk ＋2时，
2n－1＝2[3k＋（2k＋1）Pk ＋2]－1＝6k＋2Pk(2k＋1)＋3
＝(2k＋1)(3＋2Pk )。
综上所述，⑴当n＝3k＋（2k＋1）Pk ＋2时，2n－1为奇合数。
⑵当n≠3k＋（2k＋1）Pk ＋2时，根据埃拉朵染尼氏筛法可知，筛去奇数列2n－1中所有合数，2n－1不是1就是奇素数。