- 有一高数证明题看不懂；已知函数Γ（α）=∫[0，+∞]x＾（α－
- 已知Γ（α）=∫[0，+∞]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx的定义域为（0，+∞）．求证：函数Γ（α）在（0，+∞）连续．
证明如下：Γ（α）=∫[0，+∞]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx=∫[0，１]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx＋∫[１，+∞]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx．
对任意α∈（0，+∞），存在α1与α2,使0＜α1≤α≤α2.
对任意x∈（0，1]，有x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）≤x＾（α1－１）×ｅ＾（－ｘ）.
对任意x∈[1，+∞）,有x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）≤x＾（α2－１
- 注意:优判别法对无穷区间的积分和瑕积分都适用.
1.
比如本题的瑕积分:∫[0，１]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx
任意ε>0,有1>a>0,对于任意0
0＜α1≤α≤α2
0<∫[b，c]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx<
<∫[b，c]x＾（α1－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx<ε
==>
∫[0，1]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx,
在区间[α1,α2]一致收敛.
2.
利用:“∫[0，+∞]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx在区间[α1,α2]一致收敛”。可直接推出Γ（α）在[α1,α2]连续．
==>Γ（α）在（0，+∞）连续．(还需要我写吗?)
补充:
对无穷区间的积分和瑕积分都是极限,所以才有收敛,一致收敛的概念.如:
∫[0，１]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx=
=Lim{a->0}F(a,α),其中
F(a,α)=∫[a，１]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx
另外:
∫[0，+∞]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx
在区间[α1,α2]一致收敛收敛等价于
∫[0，1]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx,和
∫[１，+∞]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx
同时在区间[α1,α2]一致收敛.