- 求助:四边形余弦定理是什么形式？
- 求助:四边形余弦定理是什么形式？
- 四边形的余弦定理:
设四边形ABCD的边长为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，对角线为m,n。求证:
(m*n)^2=(a*c)^2+(b*d)^2-2*a*b*c*d*cos(A+C).
布瑞须赖德尔(Bretschnelder,1808-1878)发现的四边形的余弦定理.
由四边形的余弦定理立即得到托勒密不等式:
a*c+b*d>=m*n.
四边形的余弦定理的证明.
证明 在AB,AD边上向外作△AKB∽△CDA, △ADM∽△CAB, 则有
AK=ac/m,AM= bd/m,KB=DM=ad/m。
因为 ∠KBD+∠MDB=∠CAD+∠ABD+∠BDA+∠CAB=180°
所以KB∥DM，四边形KBDM是平行四边形，KM=BD=n。
在△AKM中，由余弦定理得:
n^2=(ac/m)^2+(bd/m)^2-2(ac/m)*(bd/m)*cos(A+C)
上式两边同乘m即得四边形的余弦定理。