- 证明：cos2π/7+cos4π/7+cos6π/7=
- 证明： c2π/7+cos4π/7+cos6π/7=-1/2
- 似曾相识
在复数范围内,
方程z^7=1有7个不相等的复数根,
分别是cos2kπ/7+isin2kπ/7(k=0,1,2,3,4,5,6)
这7个根的和等于0,
如果设a=π/7
即[cos0+cos2a+cos4a+cos6a+cos8a+cos10a+cos12a]
+i[sin0+sin2a+sin4a+sin6a+sin8a+sin10a+sin12a]=0
根据复数相等的规定:
cos0+cos2a+cos4a+cos6a+cos8a+cos10a+cos12a=0,
在cos0+cos2a+cos4a+cos6a+cos8a+cos10a+cos12a=0中
cos0=1,cos2a=cos12a,cos4a=cos10a,cos6a=cos8a
一代换,立即得出
cos2a+cos4a+cos6a=-1/2
即cos2π/7+cos4π/7+cos6π/7=-1/2
证明完毕