- 数列综合题已知函数f（x）=ax
- 已知f（x）=ax-（b/x）-2lnx f（1）=0
（1）：若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围。
（2）：若函数f（x）在x=1处的切线的斜率为0，
且a（n+1）=f＇[1/（an-n+1）]-n＾+1
已知a1=4。 求证： an≥2n+2 n∈N*
（3）：在（2）的条件下，
试比较[1/（1+a1）]+[1/（1+a2）]+...+[1/(1+an)]与2/5的大小，并说明您的理由。
- (1)
f(x)定义域(0,＋∞)
f(1)=a-b-0=0,a=b
f'(x)=a+a/x^2-2/x
令t=1/x,t∈(0,+∞)
f'(x)=at^2-2t+a
f(x)在其定义域内为单调,f'(x)>=0或f'(x)<=0
若a=0,f'(x)=-2t<0
若a>0,△=(-2)^2-4a^2<=0,a^2>=1,a>=1
若a<0,2/2a=1/a<0,
f'(x)对称轴在y轴左侧,开口向下,抛物线y轴右侧部分
不可能恒>=0,所以要满足f'(x)<=0,a<=0
综上,a<=0或a>=1
(2)
f'(1)=a+a-2=0,a=1
a(n+1)=1+[a(n)-n+1]^2-2[(a(n)-n+1]-n^2+1
=a(n)^2-2na(n)+1
i)a1=4=2*1+2
ii)假设a(k)>=2k+2 (k>=1)
a(k+1)=a(k)^2-2ka(k)+1
=[a(k)-k]^2-k^2+1
>=[2k+2-k]^2-k^2+1
=4k+5>2(k+1)+2
iii)由i)ii)得n∈N*,a(n)>=2n+2(仅当n=1时取等号)
(3)
1+a(n+1)=a(n)^2-2na(n)+2=a(n)*[a(n)-2n]+2>=2[1+a(n)]
>=2^2[1+a(n-1)]>=....>=2^n[1+a1]=5*2^n
1/[1+a(n)]<=1/[5*2^(n-1)] (n>=2)
[1/（1+a1）]+[1/（1+a2）]+...+[1/(1+an)]
<=1/5+1/5*1/2+1/5*1/2^2+...+1/5*1/2^(n-1)
=1/5[1+1/2+1/2^2+...+1/2^(n-1)]
=1/5[2-1/2^(n-1)]<2/5