- 求最小值已知正数a,b,c满足a+b+c=3,求√(4a+1)+
- 已知正数a,b,c满足 a+b+c=3,求
√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)的最小值.
- 已知正数a,b,c满足 a+b+c=3,求
√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)的最小值.
我个人认为本问题不完整，不妥当。改为如下两个命题较妥。
(1)a,b,c为非负实数，满足 a+b+c=3,求
√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)的最小值.
(2)已知正数a,b,c满足 a+b+c=3,求证
√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)>2+√13.
解 √(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)的最小值为2+√13.
因为a,b,c是全对称的，不妨设a=max(a,b,c).
那么我们只需证
√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)≥2+√13.
<==>√(4a+1)-√13+√(4b+1)-1+√(4c+1)-1≥0.
<==>(4a-12)/[√(4a+1)+√13]+4b/[√(4b+1)+1]+4c/[√(4c+1)+1]≥0
<==>-(b+c)/[√(4a+1)+√13]+b/[√(4b+1)+1]+c/[√(4c+1)+1]≥0
因为a=max(a,b,c)，所以
√(4a+1)+√13>√(4b+1)+1
√(4a+1)+√13>√(4c+1)+1
故-(b+c)/[√(4a+1)+√13]+b/[√(4b+1)+1]+c/[√(4c+1)+1]≥0
成立。当a=3,b=c=0时取得最小值。