- 高一数学已知函数f(x)对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f
- 已知f(x)对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2
(1)证明:f(x)为奇函数
(2)证明:f(x)是R上的减函数
(3)若f(2x+5)+f(6-7x)>4,求x的取值范围
- 已知f(x)对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2
(1)证明:f(x)为奇函数
因为f(x)对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),,所以:
令x=y=0,则:
f(0+0)=f(0)+f(0)
所以,f(0)=0
再令x=-y,那么:
f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以,f(-x)=-f(x)
所以,f(x)为奇函数。
(2)证明:f(x)是R上的减函数
设在R上有x1>x2,那么:x1-x2>0
所以,f(x1-x2)<0
而,f(x1-x2)=f[x1+(-x2)]=f(x1)+f(-x2)
由(1)知,f(x)为奇函数,所以:
=f(x1)-f(x2)<0
即:f(x1) f(2x+5)-f(7x-6)>-f(2)
===> f(2x+5)+f(2)>f(7x-6)
===> f[(2x+5)+2]>f(7x-6)
===> f(2x+7)>f(7x-6)
===> 2x+7<7x-6
===> 5x>13
===> x>13/5