- 已知椭圆x2/4+y2/b2=1的焦点在x轴上，若过点P（
- 已知椭圆x2/4+y2/b2=1的焦点在x轴上，若过点P（-1，0）作斜率为（√6）/2的直线交椭圆于A、B两点，交y轴于M点，且|PM|是|PA|与|PB|的等比中项。
（1） 求椭圆的方程；
（2） 若点N是椭圆上的任意一点，求△NAB的面积的最大值
- (1) 设直线AB的t参数方程为x=-1+tcα, y=tsinα(α为AB的倾斜角,tanα=√6/2)), 把它代入x²/4+y²/b²=1,得(b²cos²α+4sin²α)t²-2btcosα-3b²=0,设点A,B的t参数为t1,t2,由参数的几何意义
|PA|*|PB|=|t1+*|t2|=|t1t2|=3b²/(b²cos²α+4sin²α)
=3b²(1+tan²α)/(b²+4tan²α)=15b²/(2b²+12)
而M(0,√6/2),P(-1,0), ∴ |PM|²=5/2. ∵ |PA|*|PB|=|PM|²,
∴ 15b²/(2b²+12)=5/2, ∴ b²=3
椭圆的方程为x²/4+y²/3=1
(2) |AB|=|t1-t2|=√[(t1+t2)²-4t1t2]
t1+t2=2bcosα/(b²cos²α+4sin²α)=10bcosα/(2b²+12)=√30/9,t1t2=-15b²/(2b²+12)=-5/2, ∴ |AB|=2√210/9
设N(2cosθ,√3sinθ),它到直线AB:y=√6(x+1)的距离
d=(3/√10)|2sin(θ-Φ)-1|,(其中tanΦ=√2), ∵ |AB|为定长,
∴ 当sin(θ-Φ)=-1时, d有最大值9/√10, ∴ △NAB的面积的最大值为0.5|AB|d=0.5×(2√210/9)×(9/√10)=√21