- 数列求最大值给定正整数n和实数M，对于满足条件:(a1)^2+[
- 给定正整数n和实数M，对于满足条件:(a1)^2+[a(n+1)]^2≤M^2的所有等差数列:a1,a2,a3…. ，试求S=a(n+1)+a(n+2)+……+a(2n+1) 的最大值。
- 给定正整数n和实数M，对于满足条件:(a1)^2+[a(n+1)]^2≤M^2的所有等差数列:a1,a2,a3…. ，试求S=a(n+1)+a(n+2)+……+a(2n+1) 的最大值。
这道题有许多种解法,浙大赵小云给出许多解法.仅供参考.
解一 由auchy不等式求解
S=a(n+1)+a(n+2)+……+a(2n+1)
=(n+1)*[a(n+1)+a(2n+1)]/2
=(n+1)*[3a(n+1)-a1]/2
=<[(n+1)/2]* √{[3^2+(-1)^2]*[(a(n+1))^2+(a1)^2]}
=<[(n+1)/2]*M*√10。
所以S的最大值为[(n+1)/2]*︱M︱*√10。
解二，设a1=︱M︱k*sint，a(n+1)=︱M︱k*cost， 0 d=2[S-a(n+1)]/[3n(n+1)] (2)
将(2)式(代入(1)得:
a^2{a+2[S-a(n+1)]/[3(n+1)]}^2≤M^2
<==> 10a^2+4S*a/(n+1)-4S^2/(n+1)^2-9M^2≤0 (3)
把(3)式视作二次函数f(a) ，f(a)≤0，则△≥0，即
[4S/(n+1)]^2≥40*[4S^2/(n+1)^2-9M^2]
<==> 45M^2≥18S^2/(n+1)^2
<==> S≤[(n+1)︱M︱√10]/2。
当△=0，即a=︱M︱/√10,d=√[8M^2/(5n^2)]时有
Smax=[(n+1)︱M︱√10]/2。
解四 记a1=a，a(n+1)=b，公差为d。
S=a(n+1)+a(n+2)+…a(2n+1)=(n+1)b+n(n+1)d/2
故a+nd/2=S/(n+1) (1)
M^2≥a^2+b^2=(a-nd)^2+a^2=4(a+nd/2)^2/10+(4a-3nd)^2/10
故M^2≥4S^2/(n+1)^2/10
因此S^2≤10M^2*(n+1)/2
<==> S≤[(n+1)︱M︱√10]/2。