- 已知P(4,4)为圆C:x^2+y^2=36内一定点,圆周上有两?
- 已知P(4,4)为圆:x^2+y^2=36内一定点,圆周上有两个动点A，B恒有PA*PB(向量点乘)=0
（1）求弦AB中点M的轨迹方程
（2）以AP和PB为邻边作矩形AQBP，求点Q轨迹方程
（3）若x，y满足点Q轨迹方程，求m=x+y的最值
- (1) 设M(x,y)，连接OM、OA、MP
在直角三角形APB中，|MP| = |AM|
在直角三角形AOM中，|AM|² + |OM|² = |OA|²
故 |MP|² + |OM|² = |OA|²
即 (x-4)² + (y-4)² + x² + y² = 36
整理得 x² + y² - 4x - 4y - 2 = 0
即 (x-2)² + (y-2)² = 10
这就是点M的轨迹方程
(2) 设M(m,n)，则 (m-2)² + (n-2)² = 10
设Q(x, y)，则由M是PQ的中点得 m = (x+4)/2，n = (y+4)/2
代入 (m-2)² + (n-2)² = 10
并整理得 x² + y² = 40
(3) 因为 x²+y²=40 表示一个圆（圆心(0,0)，半径2√10）
而 m=x+y 即 x+y-m=0 表示一条直线
直线与圆有公共点的条件是 圆心到直线的距离不大于半径
即 |m|/√2 ≤ 2√10
得 |m| ≤ 4√5
所以 m 的最大值和最小值分别是 4√5、-4√5