- 几道数学圆锥曲线题1.椭圆C的焦点为F1(
- 1.椭圆C的焦点为(-2根号2,0),F2(2根号2,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点,求线段AB的中点坐标
2.抛物线x2=-2y与定点M(0,-1)的直线l交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率之和为1,求直线l的方程
3.直线y=x+b与双曲线2x2 - y2 =2交于A,B两点,若以AB为直径的圆过原点,求b
4.双曲线x2 - (1/2)y2 =1,过点B(1,1)能否作直线m,使m与双曲线交于P,Q两点,且点B是线段PQ的中点?若存在,求出直线m方程,若不存
- 1.椭圆C的焦点为(-2√2,0),F2(2√2,0),长轴长为6,直线y=x+2交椭圆C于A,B两点,求线段AB的中点坐标
a=3，c=2√2--->b²=a²-c²=1--->椭圆C方程：x²/9+y²=1
与直线x=y-2联立--->(y-2)²+9y²=9--->10y²-4y-5=0
--->yA+yB=4/10=0.4--->xA+xB=(yA-2)+(yB-2)=-3.6
--->AB的中点坐标为(-1.8,0.2)
2.抛物线x²=-2y与过定点M(0,-1)的直线l交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率之和为1,求直线l的方程
设L方程为：y=kx-1
与抛物线方程联立：x²=-2(kx-1)--->x²+2kx-2=0
--->xA+xB=-2k, 又: yA=-xA²/2, yB=-xB²/2
k(OA)+k(OB)=(yA/xA)+(yB/xB)
=(yAxB+yBxA)/(xAxB)
=(-1/2)(xA²xB+xB²xA)/(xAxB)
=-(xA+xB)/2
=k = 1
--->L方程为：y=x-1
3.直线y=x+b与双曲线2x²-y²=2交于A,B两点,若以AB为直径的圆过原点,求b
直线与双曲线方程联立：x²-2bx-(b²+2)=0
--->xA+xB=2b, xAxB=-b²-2
--->yA+yB=(xA+b)+(xB+b)=4b--->圆心即AB中点M(b,2b)
(xA-xB)²=(xA+xB)²-4xAxB=8b²+8
--->直径|AB|=√2|xA-xB|=4√(b²+1)
圆过原点--->|OM|=|AB|/2--->5b²=4(b²+1)--->b=2
4.双曲线x²-(1/2)y²=1,过点B(1,1)能否作直线m,使m与双曲线交于P,Q两点,且点B是线段PQ的中点?若存在,求出直线m方程,若不存在,说明理由
假设存在m，其斜率为k（有对称性知k存在）
设A(xP,yP),B(xQ,yQ)---->(xP+xQ)/2=1, (yP+yQ)/2=1
又：xP²-y²/2=1，xQ²-yQ²/2=1
相减：(xP+xQ)(xP-xQ) - (yP+yQ)(yP-yQ)/2 = 0
--->2(xP-xQ) = yP-yQ
--->k = (yP-yQ)/(xP-xQ) = 2
--->m方程：(y-1)=2(x-1)，即：2x-y=1