- 数学问题7（1）顺次连接正方形ABCD的各边中点，得到一个小正方
- （1）顺次连接正方形AB的各边中点，得到一个小正方形EFGH。正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是多少？
（2）依次连接矩形、菱形和平行四边形的各边中点，所得四边形与原四边形的面积比是多少？
（3）对于任意四边形，是否也有类似结论？
- 1,连接HF,EG.很容易证明正方形EFGH与正方形AB的面积比是1:2.
2,用同样方法可以证明 依次连接矩形、菱形和平行四边形的各边中点，所得四边形与原四边形的面积比是1:2.
3 对于任意四边形，也有类似结论.
首先证明任意四边形的面积等于它的两条对角线与夹角正弦乘积的一半.证明:在任意四边形ABCD中,连接AC,BD.交于O,延长AC到M,使CM=AO,延长DO到N,使BN=DO.连接MN,CN.则 ΔCNB与 ΔCOD等积.(同高等底).连接AN,同理 ΔNMC与 ΔNAO等积. ΔNAO与 ΔABD等积,因此 ΔOMN与四边形ABCD等积.设 角MON= Φ ,ΔOMN的面积=(OM*ON*sinΦ)/2.四边形ABCD面积
(AC*BD*sinΦ)/2.证毕.
分别取AB,BC,CD,DA中点E,F,G,H.顺次连接EFGH,平行四边形EFGH中,易知角EHG=Φ).其面积=EH*HG*sinΦ因为EH=BD/2,HG=AC/2...代入可证平行四边形EFGH的面积=(AC*BD*sinΦ)/4.所以平行四边形EFGH与四边形ABCD面积比=1:2..