- 不等式问题已知n∈N,且n≥2。求证1/(n+1)+1/(n+2
- 已知 n∈N, 且n≥2。求证
1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)>13/24。
- 已知 n∈N, 且n≥2。求证
1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)>13/24。 (1)
所证不等式有更强式：
1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)>=7/12 (2)
简证 当n=2时，(2)式左边=1/3+1/4=7/12。
当n>=3时，由恒等式:
(n+1)+(n+2)+...+(n+n)=n(3n+1)/2
即[(n+1)+(n+2)+...+(n+n)]/[n(3n+1)/2]=1
及柯西不等式得:
[(n+1)+(n+2)+...+(n+n)]/[n(3n+1)/2]*[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]
>2n^2/[n(3n+1)]=2n/(3n+1)=2/(3+1/n)>=2/(3+1/3)=3/5>7/12.
综上，知(2)式成立。