- 正方体ABCD
- 的中点,求证:
1)MN垂直面ENF
2)求三棱锥E-MNF的体积
3)求二面角M-EF-N的正切值
- 如图所示:
(1) 连接A1C1,B1D1,相交于O,MN,EN均为△的中位线, ∴ MN∥B1D1,EN∥A1C1, 而A1C1⊥B1D1, ∴ MN⊥EN.又FN⊥面A1C1, ∴ FN⊥MN, EN∩FN=N,
∴ MN⊥面ENF
(2) 三棱锥E-MNF的体积=三棱锥M-ENF的体积=△ENF的面积×MN/3,
∵ MN=EN=√2a/2, ∴ △ENF的面积=EN×NF/2=√2a^/4,
∴ 三棱锥E-MNF的体积=(√2a^/4)×(√2a/2)/3=a^3/12
(3) 设二面角M-EF-N的二面角的平面角为θ.由(1)知,MN⊥面ENF,∴ △MEF在面ENF的射影是△ENF,由面积射影定理,得
cosθ=△ENF的面积/△MEF的面积, 易得EF=MF=√6a/2, FO=√5a/2,等腰△MEF的面积=√5a^/4(见附图), ∴ cosθ=(√2a^/4)/(√5a^/4)=√2/√5,
∴ tanθ=√6/2, ∴ 二面角M-EF-N的正切值为√6/2.