- 解析几何设双曲线x^2/a^2
- 设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上的两点P1,P2的离心角分别为A,B若2c(A/2)cos(B/2)=1.试求双曲线过P1,P2的两条切线的交点的轨迹
- 解：由已知,P1(asecA,btanA)、P2(asecB,btanB).联立两条切线方程,得
x/a-ysinA/b=cA……(1)
x/a-ysinB/b=cosB……(2)
解方程组,求得：
x/a=sin(A-B)/(sinA-sinB)=cos[(A-B)/2]/cos[(A+B)/2]
y/b=(cosB-cosA)/(sinA-sinB)=tan[(A+B)/2]……(3)
由假设2cos(A/2)·cos(B/2)=1,得
x/a+1=cos[(A-B)/2]/cos[(A+B)/2]+1
`````=2cos(A/2)·cos(B/2)/cos[(A+B)/2]=sec[(A+B)/2]……(4)
由(3)(4),得：(x/a+1)²-(y/b)²=1,即 (x+a)²/a²-y²/b²=1.
注意到(1)(2)中,A、B有解的充要条件是|x/a|/√[1+(y/b)²]≤1,
即x²/a²-y²/b²≤1.
因此切线的交点在双曲线x²/a²-y²/b²=1的外部,
故所求轨迹是双曲线(x+a)²/a²-y²/b²=1的右支.