- 排列组合用若干个长宽高分别为2,3,5的长方体,依相同方向拼成一
- 用若干个长宽高分别为2,3,5的长方体,依相向拼成一个棱长为90的正方体,则正方体的一条对角线穿过的小长方体共有多少个?
- 类似于求集合元素的个数的方法
用r(A)表示集合A的元素的个数,
则r(A∪B∪)=[r(A)+r(B)+r(C)]-[r(A∩B)+r(A∩C)+r(B∩C)]+r(A∩B∩C)
这理解起来不容易,还是看最下面一段的文字说明。
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好象找到这样一个计算方法:
90中2的正约数45个,3的正约数30个,5的正约数18个;
6的正约数15个,10的正约数9个,15的正约数6个;
30的正约数3个。
用求集合元素个数的方法,
(45+30+18)-(15+9+6)+3=66
这不是巧合,这有道理,但只能意会。
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我没有找到一个很好的公式,只能用想象和实验的方法寻找答案。
2,3,5的最小公倍数是30
借助一个空间直角坐标系,放一个棱长为30的正方体,
对角线从点O(0,0,0)开始,到点P(30,30,30)结束,
所有的格点(k,k,k)(k是不大于30的自然数)
考虑长2,每当k增加2,就增加一个2×3×5的小长方体,
k=2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30(*),
都在小长方体的边界上,因而这对角线至少要经过15个小长方体。
考虑宽3,每当k增加3,就增加一个2×3×5的小长方体,
k=3,6,9,12,15,18,21,24,27,30都在小长方体边界上,
去掉与(*)中重复的6,12,18,24,30(2和3的公倍数),还有5个,
即k=3,9,15,21,27(**)时,将分别新增小长方体,5个
考虑高5,每当k增加5,就增加一个2×3×5的小长方体,
k=5,10,15,20,25,30都在小长方体的边界上,
去掉与(*)(**)中重复的数,还有k=5,25,只有2个新数
15+5+2=22
因此棱长30的正方体对角线将经过22个小正方体。
90/30=3,22*3=66
棱长90的正方体对角线穿过的小长方体共有66个