- 竞赛几何题圆内接四边形ABCD，AB与CD交于E，BC与AD交于
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圆内接四边形AB，AB与CD交于E，BC与AD交于F，对角线AC，BD交于O，P是四边形ABCD外接圆上任一点，PE与PF分别交该圆于Q，R。
求证:Q,O,R三点共线。
- 圆内接四边形AB，AB与CD交于E，BC与AD交于F，对角线AC，BD交于O，P是四边形ABCD外接圆上任一点，PE与PF分别交该圆于Q，R。
求证:Q,O,R三点共线。
证明 连PA,PD,QC,BQ,AR,RD。
由于ΔEBQ∽ΔEPA，ΔFDR∽ΔFPA，所以有
BQ/PA=EB/EP，
PA/DR=FP/FD.
两式相乘得:
BQ/DR=EB*FP/EP*FD (1)
又由ΔECQ∽ΔEPD，ΔFPD∽ΔFAR，故有
CQ/PD=EC/EP,
PD/AR=FP/FA.
两式相乘得:
CQ/AR=EC*FP/EP*FA (2)
(1)/(2)得:
BQ*AR/DR*CQ=EB*FA/EC*FD
故得:
(BQ/QC)*(CD/DR)*(RA/AB)=(EB/BA)*(AF/FD)*(DC/CE) (3)
直线FCB截ΔEAD,由梅涅劳斯定理得:
(EB/BA)*(AF/FD)*(DC/CE)=1 (4)
所以由(3),(4)式得:
(BQ/QC)*(CD/DR)*(RA/AB)=1.
故BD,AC,QR交于一点，即Q,O,R三点共线。