- 数学高考难题请求帮助5＋3，48
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己知g（x）与函数h（x）＝x＋2图象关于y=x对称，且函数f（x）＝lg［g（x）•x＋m］（其中m∈R，m为常数）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）问是否存在实数p，使得f（p＋x）＝f（p－x），若存在，请求出p，若不存在，说明理由；
（3）函数f（x）的定义域与值域能否同时为实数集R？并证明你的结论；
标淮答案；（1）函数f（x）的定义域：
当m=1时，（－∞，1）∪（1，＋∞）
当m＜1时，（－∞，1－根号（1－m））∪（1＋根号（1－m），＋∞）
（2）p＝1
- (1) ∵ g（x）与函数h（x）＝x＋2图象关于y=x对称，∴ g(x)与h(x)互为反函数, ∴ g(x)=x-2, f(x)=lg(x^-2x+m), 定义域要求x^-2x+m>0, x^-2x+m=0的根为1-√(1-m)和1+√(1-m),(m≤1), ∴ f（x）的定义域是(-∞,1-√(1-m))∪(1+√(1-m),+∞)(m≤1).
不用把m=1和m<1分开写!
(2) 函数f（x）对一切x∈R满足f（p＋x）＝f（p－x），则函数f（x）的图象有对称轴x=a(这个重要结论常用要记住). ∴ f[p+(p-x)]=f[p-(p-x)],即f(x)=f(2p-x),即把f(x)中的x换为2p-x,解析式不变, ∴ lg(x^-2x+m)=lg[(2p-)x^-2(2p-x)+m)],化简得(p-1)(x-2p)=0…(*),若存在满足题设的p,则(*)式对一切x∈R恒成立(即与x无关, ∴ p=1.
(3) f(x)的定义域是(-∞,1-√(1-m))∪(1+√(1-m),+∞)(m≤1). ∵ x取不到区间[1-√(1-m),1+√(1-m)]内的实数,∴ 定义域不能为实数集R ,当然函数f（x）的定义域和值域就不能同时为实数集R了.