- 请高手解答:昆虫追逐问题2以前在爱问中看到过此问题,觉得挺有趣,
- 以前在爱问中看到过此问题,觉得挺有趣,很想知道答案,但回答者好像乱答题.最近又有人提出此问题,大概分太少很少有人看题答题.我在此将题重出,望有高手能解决此问题:
昆虫追逐问题2
小小昆虫,无知无识,但其本能表现出的行为往往含有令人非常之惊叹的内容,下面有一个例子:
正方形ABCD边长为a(米) ,四个顶点各有一只小虫,在t = 0时刻,四只小虫同时出发以相同的速度匀速v(米/秒)按顺时针方向爬向它临近的小虫.在行进过程中,它们都始终保持对准各自的目标.求小虫的行进轨迹(曲线)(求不出理论解也可用计算机
- 解答：
没找到这个问题的理论解，但仔细分析后发现，此问题实际上不难，关键是用什么方法来解决。
小朋会飞说的对，用极坐标方程很容易解决这问题：
令正方形ABCD的中点O为极点，极轴经过A点，建立极坐标系。
设X(ρ,θ)为此曲线上的一点，φ为向量OX与X(ρ,θ)点切线（正向）夹角，ρ=f(θ)为曲线方程。
按条件，φ=45°（为常数，不随点的变化而变化）
又ρ/ρ'=tg(φ)
故dρ/dθ=ρ
解得ρ=Ce^(θ) （C为常数）
又|OA|=(√2/2)a，f(0)= |OA|
故C=(√2/2)a
得ρ=f(θ)= (√2/2)a e^(θ) （1）
方程（1）这就是A点小虫轨迹的极坐标方程：θ∈(-∞,0)的标准等角螺线。
按此理论解不难绘出小虫的行进轨迹（见下图）。
用计算机模拟方法直接求虫的行进轨迹也不难，这里就不一一叙述（参见
下面求小虫轨迹（曲线）的长度L：
L=∫(-∞,0) √(ρ²+ρ’²) dθ
=∫(-∞,0) a e^(θ)dθ
= a e^(0)-lim(θ-->-∞) a e^(θ)
=a
设四只小虫经过多少t(秒)(完全)重合，则
t=L/ v
=a/v
太简单了，太完美了，真是难以令人置信。
以上是纯解，实际情况如何呢？
zhh2360说的对，当小虫接近极点O时，会越转越快。
只要小虫有宽度（无论多小），其边缘上点的速度会越来越大，超过第一宇宙速度，超过光速，…
所以，实际上小虫无论以多慢的匀速按题目条件向前爬，决不可能爬到极点O。
本问题太美妙了，真是令人非常惊叹！
实际上可设ａ＝２,v=1
这题要使用微分几何的定理做。
称昆虫为质点,每质点按顺时针方向针方向朝另一质点．
1。由于4点做相同的运动,且初始状态时4点的位置为正方形,
所以4点始终以原正方形的中心为对称中心,即4点的位置始终
是正方形,因此每质点的运动方向与其两侧的质点运动方向
始终垂直.
2。由于是平面的4点,所以可设A,B,C,D四个质点初始状态时的位置,在复平面分别
为-1+i，1+i,1-i,-1-i
A向B运动，
设A，B的自然参数方程分别为：
r1（s）=x1（s）+iy1（s），r2（s）=x2（s）+iy2（s），
其中s为每个质点从初始位置开始所走的路程的长度.
根据1。得B的轨迹是A的轨迹的渐伸线，由渐伸线的性质得:
r2（s）=r1（s）+（E1-s)(r1)'(s）,
(r1)'（0）=v=1，r2（0）=1+i，r1（0）=-1+i==》E1=2
==》
r2（s）=r1（s）+（2-s)r1'（s） （1）。
3。由对称性知，B在复平面的位置为A在复平面的位置顺
时针绕0点转90度，所以
r2（s）=-ir1（s） （2），
（1），（2）得==》
[1+i]r1（s）+（2-s)r1'（s）=0，
解微分方程得：
r1（s）=E2（2-s）e^[iln(2-s)],
s=0==>E2=[√2/2]e^[-iln(2)+3iπ/4]
==>
r1（s）=√2/2（2-s）e^[-iln(2)+3iπ/4]e^[iln(2-s)],
A的轨迹的参数方程为：
x1（s）=√2/2（2-s）cos[-ln2+3π/4+ln(2-s)],
y1（s）=√2/2（2-s）sin[-ln2+3π/4+ln(2-s)]。
其他质点的轨迹为A的轨迹顺时针绕0点旋转90度,
180度,270度而成,即B,C,D的轨迹分别为:
-ir1（s）,-r1（s）,ir1（s）。
4.
为什么没有任何物体可以匀速在这些曲线上行进?
因为4质点同时到中心0的路程的长度=2(有限),
但每个质点顺时针绕0点旋转无穷圈,也就是说:
每个质点顺时针绕0点旋转角速度趋近于无穷.
当然每个质点的轨迹连续,但在0点不可导.
这是数学的曲线,但不是物理的曲线.