周末趣题之乱切蛋糕随便切N刀，平均而言，可以把一块蛋糕切成多少块
随便切N刀，平均而言，可以把一块蛋糕切成多少块？ 为了便于讨论，问题完整描述如下：在圆周上任意选2N个点，再将它们随机分成N对，每对点之间连线，这N条线段可以将整个圆分成M份。求M的统计平均值。
这题一开始觉得好难：----------------------------N刀乱切可能切成【n+1】~【(n^+n+2)/2 】的各种块数，每种块数的情况数各不相同，很难一一排列组合出公式，就很难算出每种总块数，而得出总可能分布块数，去除以1*3*5*7...总种数。想到固定好1.2，3.4 ，5.6，7.8号位置排，只能例举算出M1=2，M2=10/3，M3=5=75/15，对M4=7=735/105,验证不敢确定。----------------------------曾想到“常规”建议我自学的母函数：可以把每种情况的数量信息表达在一个多项式里，赶紧百科词条学习了下，懂了点，但还没能力编出一个匹配的母函数，即使编出了，还不一定会统计。如果这题可以用母函数解，还请“常规”老师演示。-----------------------------------------------------------于是从头再思考：（不考虑存在3线共点的极致0概率）如果第1刀竖切，2块了，第2刀可以左切，右切，横切3种，只有横切与第1刀相交，多出2块，占1/3概率！！！！！！！即会比其它2种多切出1块，（其它2种只能各基本多切出1块）。-----------------------------如果第N刀，平均块数为Mn，第N+1刀，与之前任何1刀痕相交的概率都是1/3，充分利用这一规律：那么，（除了可以基本的下刀多出1块外，）与前N刀多出的平均块数为N*1/3=N/3块！！！！！！！即平均M（n+1)=平均Mn+（1+n/3）。平均Mn=1+(1+0/3)+（1+1/3)+(1+2/3)+(1+3/3)+(1+4/3)+...(1+（n-1）/3)=n+1+n(n-1)/6=(n+2)(n+3)/6-----------------------------原来可以如此简约！！！！！！无需弄清每种切法的块数情况，基本的任2线相交的1/3概率的通用即可。此时便能回味到享受到此题之“趣”了，谢谢！！！