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在锐角三角形ABC中,A,B,C是它的三个内角S=1/(1+ta
S=1/(1+tanA)+1/(1+tanB 求证: (1)S<1 (2)S
证明: ∵锐角三角形ABC中,A,B,C是它的三个内角 ∴A+B=180°- 而C<90° ∴A+B>180°-90°=90° A+B<180° ∴-1<cos(A+B)<0 0°<A-B<90° cos(A+B)<0 cosAcosB-sinAsinB<0 2cosABAcosB<cos(A-B) 2cosAcosB+sin(A+B)<cos(A-B)+sin(A+B) [2cosAcosB+sin(A+B)]/[cos(A-B)+sin(A+B)]<1 S=1/(1+tanA)+1/(1+tanB) =cosA/(cosA+sinA)+cosB/(cosB+sinB) =[cosAcosB+cosAsinB+cosAcosB+cosAsinB]/[cosAcosB+cosAsinB+ sinAcosB+sinAsinB] =[2cosAcosB+sin(A+B)]/[cos(A-B)+sin(A+B)]<1 ∵cos(A-B)>0 ∴cosAcosB+sinAsinB>0 2cosABAcosB>cos(A+B) 2cosAcosB+sin(A+B)>cos(A+B)+sin(A+B) [2cosAcosB+sin(A+B)]/[cos(A+B)+sin(A+B)]>1 tanA/(1+tanA)+tanB/(1+tanB) =sinA/(cosA+sinA)+sinB/(cosB+sinB) =[sinAcosB+sinAsinB+cosAsinB+sinAsinB]/[cosAcosB+cosAsinB+ sinAcosB+sinAsinB] =[2sinAsinB+sin(A+B)]/[cos(A-B)+sin(A+B)]>1>S
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