- 数列问题设数列g(n)定义如下:g(1)=0，g(2)=1，g(
- 设数列g(n)定义如下:
g(1)=0，g(2)=1，g(n+2)=g(n+1)+g(n)+1(n≥1).
如果n是大于5的素数，
求证:n|g(n)(g(n)+1)。
- 令f(n)=g(n)+1，则
f(1)=1，f(2)=2，f(n+2)=f(n+1)+f(n)，
∴f(n)=(1/√5)[((1+√5)/2)^(n+1)-((1-√5)/2)^(n+1)]
=(1/2^n)[C(n+1，1)+5C(n+1，3)+5^2C(n+1，5)+···+5^[(n-1)/2]C(n+1，n)……(※)
注意到n为大于5的素数，
∴(2，n)=1→(2^n，n)=1，
且n|C(n+1，i)(其中3≤i≤n-1).
由(※)式知2^nf(n)≡(n+1)[1+5^((n-1)/2)]≡1+5^((n-1)/2)(mod m)，
∴2^n(f(n)-1)≡1+5^((n-1)/2)-2^n≡-1+5^((n-1)/2)(mod n).
∴f(n)(f(n)-1)≡1-5^(n-1)≡0(mod n).
而n|g(n)(g(n)+1)→n|f(n)(f(n)-1)，
故命题得证。