- 已知数列:a1=4.a(n+1)={[(an)
- 已知数列:a1=4. a(n+1)={[(an)-n]＾}-(n＾)+1
求证: (1) an≥2n+2 n∈N+
(2) 比较[1/(1+a1)]+[(1/(1+a2)]+....[1/(1+an)]与(2/5)的大小,并说明理由.
不要用归纳法.
- 解:
(1).a(n+1)=[(an)-n]²-(n²)+1=(an)²-2n(an)+1
a1=4;a2=4²-2*4+1=16-8+1=9＞8=4*2;
a3=9²-4*9+1=81-36+1=46＞16=4*2²;
a4=46²-6*46+1=2116-276+1=1841＞32=4*2³;
............................
由上可见,an≥n=4*2^(n-1)(n=1时等号成立).
即数列{an}与一个首项为4,公比为2的等比数列{Cn}相比较,除去
第1项相等之外,其它各项都大很多.
而由bn=2n+2可知,{bn}是一个首项为4,公差为2的等差数列.
a1=c1=b1=4,当n≥2时,an＞cn＞bn=2n+2
故an≥2n+2成立.
(2).1/(1+a1)+1/(1+a2)+...+1/(1+an)<2/5.....(1)
由1/5+1/10+1/47+1/1842=0.2+0.1+0.0213+0.000543
=0.322可知,第4项以后,各项的值都很小啦!故可断言不等
式(1)成立.严格证明没法作.此类问题一般都用归纳法,你
却规定不准用.