- 若a1a2a3a4线性无关问向量组a1
- 若a1 a2 a3 a4线性无关 问向量组a1-a2,a2-a3,a3-a4,a4-a1是否线性无关？
请给简要步骤
- 这个问题简单
∵(a1-a2)+(a2-a3)+(a3-a4)+(a4-a1)=0
∴向量组a1-a2,a2-a3,a3-a4,a4-a1线性相关
（存在非零常数1，使它们1倍的和为零）
k1(a1-a2)+k2(a2-a3)+k3(a3-a4)+k4(a4-a1)=0
(k1-k4)a1+(k2-k1)a2+(k3-k2)a3+(k4-k3)a4=0
k1-k4=0,k2-k1=0,k3-k2=0,k4-k3=0
关于k1,k2,k3,k4的线性齐次方程
系数矩阵为
1 0 0 -1
-1 1 0 0
0 -1 1 0
0 0 -1 1
将二三四行加到第一行，转化为
0 0 0 0
-1 1 0 0
0 -1 1 0
0 0 -1 1
交换第一与第四行
0 0 -1 1
-1 1 0 0
0 -1 1 0
0 0 0 0
这矩阵的秩小于4（或者说这矩阵对应的行列式等于0）
关于k1,k2,k3,k4的线性齐次方程有非零实数解
所以向量组a1-a2,a2-a3,a3-a4,a4-a1线性相关