- 高二数学题求助,快~已知直线y=ax+1与双曲线3x²
- 已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1交于A,B两点.
1.若以AB线段为直径的圆过坐标原点,求实数a的值.
2.是否存在这样的实数a,使A,B两点关于直线y=0.5x对称?说明理由.
- [解]：（1）由 y=ax+1及3x^2-y^2=1可得：（3-a^2）x-2ax-2=0
由题意知：3-a^2≠0且△＞0得- √6＜a＜√6 且a≠± √3
故当- √6＜a＜√6 且a≠± √3时，直线与双曲线有两个交点，
设A(x1,y1),（x2,y2），则x1+x2=2a/3-a^2 ，x1x2= -2/3-a^2
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，
而y1y2=(ax1+1)(ax2+1)故（a^2+1)x1x2+a (x1+x2)+1=0,所以（a^2+1）又-2/3-a^2 +a又2a/3-a^2+1=0
从而a=±1满足
（2） 假设存在实数a，使A、B关于直线y= 1/2x对称
则直线y=ax+1与直线y=1/2x垂直，
所以a=-2,故直线l的方程为y=-2x+1，
将a=-2代入x1+x2=2a/3-a^2得x1+x2=4
所以AB中点横坐标为2，纵坐标为y=-2×2+1=-3，而AB中点（2，-3）不在直线y=1/2x上
故不存在实数a满足题意。