数学的构造法都有哪几种最近正在疯狂的做题中，发现每道巨难的题中都
最近正在疯狂的做题中，发现每道巨难的题中都用到了神奇的构造 每次看完答案都会恍然大悟 但是再遇到题的时候总是想不到那些巧妙的方法，请问构造是有没有什么基础的构造方法呢 ？比如结合前后条件和想要达到的结果快速的想到最简单的构造方法 。 希望大家都来说下自己的心得，先谢谢各位高手了
当解决命题p遇到阻碍时,可以跳过思维定势,设想构造一个与命题p相关的新命题q,通过对命题q的研究达到解决命题p的目的,这种处理问题的方法称之为构造法。构造法是一种精巧的方法,其策略具有非常规性,方法带有试探性,思维富有创造性。因此,构造法解题是数学中最富有活力的思想方法之一,而且具有还原、分解、简化及数形转化功能. 在解决某些数学问题时，我们常会采用这样的方法：通过对条件和结论充分细致的分析，抓住问题的特征，联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当地构造辅助元素，它可以是一个图形，一个函数，一个方程，一个等价命题等等，以此架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称之为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，它属于非常规思维。其方法是：对某些用常规方法不易解决的问题，依据题设条件的特点，用已知条件中的元素去构造新的对应关系或新的数学模型，从而使复杂问题简单化。在解题过程中，若按习惯定势 思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助。运用构造法解题，关键在于寻找到合理的数学模型，一旦运用成功，它所呈现的是问题的本质规律和数学的内在美，往往给人耳目一新的感觉。历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。近几年来，构造法及其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。用构造法解题，常使数学解题由难变易，它无一定之规，没有通用的构造法则。运用构造法解题对于培养思维的敏捷性和创造性，具有重要的意义。下面通过几个实例说明构造法的应用。 1、构造图形 根据问题条件中的数量关系的几何意义，以某种方式构作图形，将题设中的数量关系以形象、直观的方式直接在图形中得到体现，转而利用几何性质使问题得到解决。一般来讲，代数问题较为抽象，若能通过构造将之合理转化为几何问题，利用“数形结合”这一重要思想方法，往往可增强问题的直观性，使解答事半功倍或独具匠心。在解题的过程中，主要是把解题用到的数学思想和方法介绍给学生，而不是要教会学生会解某一道题，也不是为解题而解题，给他们学会一种解题的方法才是有效的"授之以鱼，不如授之以渔"。在这里我们所强调的发现知识的过程，创造性解决问题的方法而不是追求题目的结果。运用构造方法解题也是这样的，通过讲解一些例题，运用构造法来解题的技巧，探求过程中培养学生的创新能力。 华罗庚：“数离开形少直观，形离开数难入微。”利用数形结合的思想，可沟通代数，几何的关系，实现难题巧解。 A 例1：已知：0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1 x 求证：x(1-z)+y(1-x)+z(1-y)＜1 F 1-z 分析：本题局限在代数不等式范畴不易求 1-x E 证，如将题目中的式子赋予“形”的解释，则 z 可构造反映题目要求的几何模型—边长为1的 B y D 1-y C 等边ΔABC，则由SΔAEF+SΔBDF+SΔCDE＜SΔABC即可证明结论成立。 例2：若锐角 ， ， 满足cos2 +cos2 +cos2 =1 证明：tan ·tan ·tan ≥2 。 分析：由已知cos2 +cos2 +cos2 =1联想到长方体的对角线与过同一顶点的三条棱所成角的余弦有此关系，因此可构造一个长方体，使对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 ， ， ，记三条棱长分别为a、b、c，则tan ·tan ·tan = · · ≥ · · =2 命题得证。 2、构造函数 函数在整个中学数学占有相当大的内容，学生对于函数的性质也比较熟悉。选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题，同时也达到了训练学生的思维，增强学生的思维的灵活性，开拓性和创造性。函数概念是中学数学最重要的概念之一，构造函数也就是从问题本身的特点出发构作一个新的辅助函数。再利用函数的性质（如奇偶性、单调性等）去求得问题的解决。理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃。很多数学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。 求证： ≤ 分析：观察不等式的四个分式，发现它们有相同的结构，因此，可以把它们看作为函数f(x)= 在相应四点的函数值。 证明：设函数f(x)= x∈ ， 则当0≤x1＜x2时 f(x2)-f(x1)= ＞0 ∴f(x)在 ， 上是递增函数 ∵0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c| ∴f(|a+b+c|)≤f(|a|+|b|+|c|)。 即 ≤ = ≤ 命题得证。 例4：已知锐角ΔABC 求证：sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC 分析：注意到A、B、C均为锐角，且有sin(90o- )=cos ，故构造函数y=sinx(0o＜x＜90o ，根据y=sinx在(0o，90o)上单调递增即可证明。 证：设y=sinx(0o＜x＜90o ∵A、B、C为锐角ΔABC的三个锐角 ∴A+B+C=180o 于是A=180o-B-C 即 A=(90o-B)+(90o-C) 显然90o＞A＞90o-B＞0 ∴sinA＞sin(90o-B) 即sinA＞cosB 同理：sinB＞cosC sinC＞cosA 三式相加即得sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC 例5、已知：0≤x1＜x2≤ 求证： ＜ 分析：构造函数f(x)=sinx (0≤x≤ ) 则函数图象如图中曲线所示： 设A、B、E的横坐标分别为x1，x2， 则AC=sinx1 BD=sinx2 x EG=sin EF= 由图可知EF＜EG ∴ ＜ 3、构造模型 数学和其它学科一样，要学以致用，“建模”思想就把数学这门高度抽象的基础学科与实际生活紧密地联系在一起，在实际中渗透数学思想，把数学中的理论作为工作，充分发挥其作用，因而许多问题可通过构造模型来处理，将问题中的条件，数量关系，在已构造的模型上实现并得到解释，从而实现问题的证明，或转化为在所构造的模型上相应问题的证明。近年来，构造模型的方法越来越被重视，并成为高考中的一道独特的风景线 例6：求证： ≥5- 分析：原不等式可化为 ≥5，因此待证的原不等式转化为证明动点（x，0）到定点（4，2），（0，1）的距离之和不小于5，从而可构造直角坐标系并作出A（0，1），B（4，2）， M（x，0）及B关于x轴的对称点B′（4，2） 由对称性及两点之间线段最短即得|MA|+|MB|的最小值为线段AB′的长，由|AB′|=5可得不等式成立。 例7：求方程a+b+c+d=6有多少组非整数解？ 分析：构造模型：6个形状、大小、颜色完全相同的球任意放入四个不同的盒子中，问共有多少种放法？由题可知，一种放法对应着方程的一组解；反之，方程的任一组非负整数解也对应着球在盒中的一种放法，从而问题转化为排列组合问题。 4、构造方程 方程是解数学题的一个重要工具，许多数学问题，根据其数量关系，在已知和未知之间搭上桥梁，有目的构造方程,以沟通问题中条件与结论的联系,使问题中的隐含关系明朗化,从而简捷迅速地使问题获解,这是解某些竞赛题的常用技巧之一. 例8：若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0 求证：x、y、z成等差数列。 分析：本题证明方法很多，可以用构造法证明。注意到条件中的等式右边代数式的结构特点，容易联想起一元二次方程根的判别式，为此可构造以(z-x)2-4(x-y)(y-z)为判别式的一元二次方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0* 由题可知 =(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0 ∴方程（*）有两个相等实根 又∵(x-y)+(z-x)+(y-z)=0 ∴t=1为方程（*）的一个根，从而t1=t2=1 由韦达定理得：t1t2= 从而2y=x+z，命题得证。 例9：计算 分析：注意到代数式的特点，可构造方程x= 则x3=18+3（ ），即x3=18+3x。 分解为(x-3)(x2+3x+6)=0，从而解得x=3，即原式值为3。 例10：求同时满足下列两个条件的所有复数z①z+ 是实数且1＜z+ ≤6，②z的实部和虚部都是整数。 分析：常规思路是设z=x+yi(x，y∈R)且x，y不同时为0，利用题设的两个条件对x，y的取值进行讨论，这样做运算量将很大，若将z+ 视为未知量，通过换元构造方程求解，则比较简捷。 解：令z+ =t，则z2-tz+10=0，它是实系数方程 ∴Δ=t2-40＜0 ∴z= ± 由已知 为整数，且1＜t≤6 ∴t=2、4或6 当t=2时z=1±3i 当t=4时z=2± i 当t=6时z=3±i ∴同时满足条件①、②的复数为1±3i，3±i。 ５、构造数列 相当多的数学问题，尤其是证明不等式，尝试一下“构造数列”能产生意想不到的效果。 【例7】证明: (n=1,2,3……) 分析此命题若直接证明，颇具难度，倘若构造数列 x1=x2=…=xn=1+1n ,xn+1=1 利用平均值不等式x1+x2+…+xn+1n+1 ≥ n+1x1x2…xn+1 ，顿使命题明朗化。 ６、构造向量 新教材的一个重要特点是引入向量,代数、几何、三角中的很多问题都可以利用向量这一工具来解决. 【例9】已知a,b,c为正数,求函数y= 的最小值. 解: 构造向量 =(x,a), =(c-x,b),则原函数就可化为: y=│ │+│ │≥│ + │= = ∴ymin= 我们在解题的过程中要善于观察，善于发现，在解题过程中不墨守成规。大胆去探求解题的最佳途径。创新思维是整个创新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，独特的知识结构及活跃的灵感是其基本特征。这种创新思维能保证学生顺利解决问题，高水平地掌握知识并能把知识广泛地运用到解决问题上来，而构造法正是从这方面来训练学生思维，使学生的思维由单一型转变为多角度，显得积极灵活从而培养学生创新思维。从以上各例不难看出，构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，它体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法，构造法解题重在“构造”。它可以构造图形、方程、函数甚至其它构造，就会促使学生要熟悉几何、代数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用，这对学生的多元思维培养学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利。因此，在解题教学时，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想则能得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法而且还能加强学生对知识的理解，培养思维的灵活性，提高学生分析问题的创新能力。“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用。运用构造法解数学题可从中欣赏到数学之美，感受到解题之乐，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培养多元化思维和创新精神大有裨益。