- 方程·证明设n是自然数，求证:方程Z^(n+1)
- 设n是数，求证:方程Z^(n+1)-Z^n-1=0有模为1的复根的充要条件是n+2可被6整除。
- 必要性:
设ω是方程的一个模为1的复根，则
ω^(n+1)-ω^n-1=0
→ω^n(ω-1)=1
→|ω|^n|ω-1|=1.
∵|ω|=1即ω在复平面的单位圆上，
单位圆上满炅|ω|=1的点ω只能是
e^(±iπ/3)=cos(π/3)±isin(π/3)，
而且ω-1=e^(2πi/3)，
于是有，1=ω^n(ω-1)=e^[±(n+2)πi/3]，
∴(n+2)π/3=2kπ(k为整数)，
→n+2=6k，即6|(n+2).
充分性:
若6|(n+2)，
则易验证ω=e^(πi/3)、ω=e^(-πi/3)
都是方程的根，且|ω|=1。