- 高中数学数列综合运用难题，求高人相助已知数列{an}满足a1=2
- 已知数列{an}满足a1=2,a（n+1）=an -[1/ n(n+1)]
（1）求数列{an}的通项公式
（2）设bn=nan·2^n,求数列{bn}的前n项和Sn
此题有难度，高手请忙下忙，写出详细过程
- （1）因为a（n+1）=an -[1/ n(n+1)]
所以a（n+1）=an -[1/ n-1/(n+1)]
a（n+1）=an -1/ n+1/(n+1)
a（n+1）-1/(n+1)=an -1/ n
设新数列cn=an -1/ n a1=2 c1=a1-1=1
则c(n+1)=cn
所以数列cn是等于1的常数列
cn=1 an -1/ n=1
则 an =1/ n+1=（1+n）/n
（2）设bn=nan·2^n
bn=(n+1)·2^n
用错位相减法
Sn=b1+b2+b3+.......+bn
=2*2^1+3*2^2+4*2^3+.......+(n+1)*2^n （1）
两边同乘2
2Sn= 2*2^2+3*2^3+.......+n*2^n+(n+1)2^(n+1) （2）
用（1）-（2）
-Sn=4+2^2+2^3+.......+2^n-(n+1)2^(n+1)
=4-2(1-2^(n-1))-(n+1)2^(n+1)
=2+2^n-(n+1)2^(n+1)
=2+2^n(1-2n-2)
Sn=(1+2n)*2^n-2