- 已知函数f（x）=x2－ax，g（x）＝㏑x1.若f﹙x﹚≥g（
- 1.若f﹙x﹚≥g（x）对于定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围
2.设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1／2），求证∶h（x1）－h（x2）＞3／4－㏑2
- 解：
(1) f(x)-g(x)=x²-ax-lnx, x∈(0,+∞)
f(x)≥g(x) 即 x²-ax≥lnx 即 (x²-lnx)/x≥a
只需求出(x²-lnx)/x的最小值即可
设Q(x)=(x²-lnx)/x
则Q'(x)=(x²+lnx-1)/x²
再令P(x)=x²+lnx-1
P'(x)=2x+1/x＞0
即P(x)为增, 而P(1)=0
则当x=1时H'(x)=0
当x＞1时, P(x)＞P(1)=0, 则Q'(x)＞0, 单调递增
当0＜x＜1时, P(x)＜P(1)=0, 则Q'(x)＜0, 单调递减
故x=1是Q(x)的极小值点, 也是其最小值点, 最小值为Q(1)=1
∴a≤1
(2) h(x)=f(x)+g(x)=x²-ax+lnx
h'(x)=2x-a+1/x=(2x²-ax+1)/x
因为有两个极值点则2x²-ax+1=0有两个实数根
a²-8＞0 ==> a²＞8
x1+x2=a/2, x1x2=1/2 ==> x1, x2＞0
解得x=[a+√(a²+8)]/4, [a-√(a²+8)]/4
显然x1=[a+√(a²+8)]/4
`h(x1)-h(x2)-3/4+ln2
=(x1²-x2²)-a(x1-x2)+ln(x1/x2)-3/4+ln2
=(x1+x2)²-2x1x2-a√[(x1+x2)²-2x1x2]+ln(2x1²x2/x2)-3/4+ln2
=a²/4-7/4-a√(a²-4)/2+ln{[a+√(a²+8)]/2}²+ln2
＞1/4-a²/4+ln{[a+√(a²+8)]/2}²+ln2
＞1/4-8/4+ln(√2+2)²+ln2
＞-7/4+2+ln2
＞0
综上得证.