- 高中数学双曲线综合题型,求解设A,B分别为双曲线x^2/a^2
- 设A,B分别为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右顶点,双曲线的实轴长为4√3,焦点到渐近线的距离为√3
(1)求双曲线的方程
(2)已知直线y=(√3/3)x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使得向量OM+向量ON=t·向量OD,求t的值及点D的坐标
请写出详细的过程,谢谢啦
- 解: (1)由题意知a=2√3,
∴一条渐近线为y=(b/2√3)x,
即:bx-2√3y=0,
∴|bc|/√(b²+12)=√3,
得:b²=3,
∴双曲线的方程为(x²/12)-(y²/3)=1。
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),
则:x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,
将直线方程代入双曲线方程得x2-16√3x+84=0,
则 x1+x2=16√3,y1+y2=12,
∴x0/y0=4√3/3……(1)
(x0²/12)-(y0²/3)=1……(2)
解(1)、(2)得
x0=4√3,y0=3,
∴t=4,点D的坐标为(4√3,3).