- 求四面体体积一球外接于四面体ABCD,另一半径为1的球与平面AB
- 一球外接于四面体AB,另一半径为1的球与平面ABC相切,且两球内切于点D,已知AD=3,cos∠BAC=4/5,cos∠BAD=cos∠CAD=√2/2,求四面体ABCD的体积。
- 首先证明四面体ABCD的高DH为另一球的一条直径.
设DE⊥AB,DF⊥AC,垂足为F、E,则
AE=AF=ADcos∠BAD=3/√2,
cos∠HAE=cos∠HAF=√[(1+cos∠BAC)/2]=3/√10.
∴AH=AE/cos∠HAE=√5,DH=√(AD^2-AH^2)=2.
∴四面体外接球的中心在DH上.
∴AD=BD=CD,AC=AB=2AE=3√2.
于是,S△ABC=(1/2)AB·AC·sin∠BAC=27/5.
故四面体ABCD的体积为
V=(1/3)·S△ABC·DH=18/5。