- 07中国东南地区奥数题设正实数a、b、c满足abc＝1,求证：对
- 设正实数a、b、c满足abc＝1,求证：对于整数k≥2,有
a^k/(a+b)+b^k/(b+c)+c^k/(c+a)≥3/2.
- ∵a^k/(b+c)+(a+b)/4+1/2+1/2+1/2+···+1/2
≥k·(a^k/2^k)^(1/k)
＝ka/2,
∴a^k/(a+b)≥ka/2-(a+b)/2-(k-2)/2.
同理可得
b^k/(b+c)≥kb/2-(b+c)/4-(k-2)/2,
c^k/(c+a)≥kc/2-(c+a)/4-(k-2)/2.
三式相加，得
a^k/(a+b)+b^k/(b+c)+c^k/(c+a)
≥k(a+b+c)/2-(a+b+c)/2-3(k-2)/2
＝(k-1)(a+b+c)/2-3(k-2)/2
≥[(k-1)/3]·3(abc)^(1/3)-3(k-2)/2
＝3/2.
故原不等式得证。