- 已知SA垂直平面ABC,SA=AB,AB垂直BC,SB=BC,E?
- 1)求证,S垂直面BDE
2)求二面角E-BD-C的大小
- 如图所示:
(1) ∵ E是SC的中点,SB=BC, ∴ BE⊥SC,又DE⊥SC,DE∩BE=E, ∴ SC⊥面BDE
(2) 由(1)知,SC⊥面ABC,∴ SC⊥BD,又∵SA⊥面ABC,CD是SC在面ABC内的射影,而BD⊥SC,由三垂线逆定理, BD⊥CD. SA在面SAC内,∴ 面SAC⊥面ABC, 面SAC∩面ABC=CD, ∴ BD⊥CD, ∴BD⊥面SAC,∴ BD⊥DE,θ=∠EDC是二面角E-BD-C的平面角.
在Rt△SAB中, 设SA=AB=a,则SB=√2a,SC=2a, 可求出EC=a,DC=EC×SC/AC=2√2a/3.在Rt△CED中,sinθ=EC/DC=√3/2, ∴ θ=60°,即二面角E-BD-C为60°.