- 高等代数关于迹的不等式证明题
- 我们知道，对任一实矩阵A都有Tr(A)=Tr(A')（这里A'为A的转置）
对实矩阵A,B都有Tr(AB)=Tr(BA);
下面证明对任一实方阵都有Tr(A^2)≤Tr(AA')
A-A'是反对称阵，所以Tr((A-A')^2)≤0
而(A-A')^2=A^2+A'^2-AA'-A'A
所以Tr(A^2)≤Tr(AA')
现在假设A,B为实对称阵，即A=A',B=B'，于是
Tr((AB)^2)≤Tr((AB)(AB)')=Tr(ABBA)=Tr(AB^2A)
=Tr(A(AB^2))=Tr(A^2B^2)
命题得证！