- 锐角三角函数在非钝角三角形ABC中，求证:cosA+cosB+c?
- 锐角三角
在非钝角三角形ABC中，求证:cosA+cosB+cosC+1≤sinA+sinB+sinC
- 证明:sinA+sinB+sin-(cosA+cosB+cosC+1)
=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)+2sin(C/2)cos(C/2)-2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2
=2cos(C/2)cos((A-B)/2)+2sin(C/2)cos(C/2)-2sin(C/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2
=2{[cos(C/2)-sin(C/2)]cos((A-B)/2)+[sin(C/2)-cos(C/2)]cos(C/2)}
=2[cos(C/2)-sin(C/2),cos((A-B)/2)-cos(C/2)] (2)
因为在非钝角三角形中,有
-π/4<(A-B)/20,
于是[cos(C/2)-sin(C/2),cos((A-B)/2)-cos(C/2)]≥0, (3)
因此,由(2),(3)得
sinA+sinB+sinC-(cosA+cosB+cosC+1)≥0,
即cosA+cosB+cosC+1≤sinA+sinB+sinC.
证明 设s,R,r是非钝角三角形ABC的半周长，外接圆与内切圆半径。根据三角形已知恒等式:
cosA+cosB+cosC=1+r/R;
sinA+sinB+sinC =s/R.
故所证不等式等价于:
2R+r≤s。 (1)
(1)式是己知不等式，当直角三角形时取等号.