- 急请高手帮忙：初中数学题多项式x^(4a)+x^(4b+1)+x
- 多项式x^(4a)+x^(4b+1)+x^(4c+2)+x^(4d+3)(a,b,c,d是数)能被多项式x^3+x^2+x+1整除吗?
请给出解题过程，谢谢！
- 有这样一个定理:
在多项式f(x)中,如果f(x)=0有一个根a,那么,f(x)就有一个因式x-a,或者说,f(x)能被x-a整除.
本题可这样证明:
由x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1),x=-1或x^2=-1(在复数范围内有意义)
当x=-1时,
设f(x)=x^(4a)+x^(4b+1)+x^(4c+2)+x^(4d+3)
=x^(4a)+x^(4b)*x+x^(4c)*x^2+x^(4d)*x^3)
=1-1+1-1=0
f(x)能被x+1整除;
当x^2=-1时,x^(4a)=x^(4b)=x^(4c)=x^(4d)=1
f(x)=x^(4a)+x^(4b+1)+x^(4c+2)+x^(4d+3)
=1+x+x^2+x^3=(x+1)(x^2+1)=0,
f(x)能被x^2+1整除.
x+1与x^2+1互质
所以f(x)能被(x+1)(x^2+1)整除
结论:多项式x^(4a)+x^(4b+1)+x^(4c+2)+x^(4d+3)(a,b,c,d是自然数)能被多项式x^3+x^2+x+1整除.
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如果你真是一名初中生,可能看不懂这个过程,要将来才可能看懂.如果是一位爱好者,甚至是数学高手,请指教!