- 证明题证明二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)的两
- 证明二次f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af(m)<0
- 证明：
f(x)=ax²+bx+c=a[x+b/(2a)]²-(b²-4ac)/(4a)
其与x轴的2个交点为
x1=[-b-√(b²-4ac)]/(2a)
x2=[-b+√(b²-4ac)]/(2a)
必要性：设f(x)的两个零点在点M(m,0)的两则，
(1)如果 a＞0,则
[-b-√(b²-4ac)]/(2a)＜m＜[-b+√(b²-4ac)]/(2a)
[|m+b/(2a)|]＜√(b²-4ac)/(2a)
[m+b/(2a)]²＜(b²-4ac)/(4a²)
两边乘以a,并移项,有
a[m+b/(2a)]²-(b²-4ac)/(4a)＜0
即f(m)＜0
故af(m)＜0
(2)如果 a＜0,则
[-b+√(b²-4ac)]/(2a)＜m＜[-b-√(b²-4ac)]/(2a)
[|m+b/(2a)|]＜-(b²-4ac)]/(2a)
[m+b/(2a)]²＜(b²-4ac)/(4a²)
两边乘以a,并移项,有
a[m+b/(2a)]²-(b²-4ac)/(4a)＞0
即f(m)＞0
故af(m)＜0
综上所述,af(m)＜0
充分性：
设af(m)＜0
(1)如果 a＞0,则
f(m)＜0
a[m+b/(2a)]²-(b²-4ac)/(4a)＜0
两边除以a,并移项,有
[m+b/(2a)]²＜(b²-4ac)/(4a²)
[|m+b/(2a)|]＜√(b²-4ac)/(2a)
[-b-√(b²-4ac)]/(2a)＜m＜[-b+√(b²-4ac)]/(2a)
即 y 的两个零点在点M(m,0)的两侧.
(2)如果 a＜0,则
f(m)＞0
a[m+b/(2a)]²-(b²-4ac)/(4a)＞0
两边除以a,并移项,有
[m+b/(2a)]²＜(b²-4ac)/(4a²)
[|m+b/(2a)|]＜-√(b²-4ac)/(2a)
[-b+√(b²-4ac)]/(2a)＜m＜[-b-√(b²-4ac)]/(2a)
即 y 的两个零点在点M(m,0)的两侧.
综上所述,y的两个零点在点M(m,0)的两侧的充要条件是af(m)＜0.