- 一道平面几何问题如图等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°
- 如图等腰三角形AB中,AB=AC,∠A=20°,D是AC边上的点且AD=BC,连接BD,则∠BDC=______.
- 用知识解,有两种方法:
方法一.设,角BDC=x
DC/sin80=BC/sinx...............(1)
DC/sin20=AD/sin(x-20)=BC/sin(x-20)..........(2)
(1)/(2)
sin(x-20)/sinx=sin20/sin80=2sin10cos10/cos10=2sin10
sin(x-20)=2sin10sinx
sinxcos20-cosxsin20=2sinxsin10
sinx(cos20-2sin10)=cosxsin20
tanx=sin20/(cos20-2sin10)=sin20/(sin70-sin10-sin10)
=sin20/(2sin30cos40-sin10)
=sin20/(sin50-sin10)=sin20/2sin20cos30=根号3/3
x=30度
即角BDC=30度
解法2,过D做BC垂线,交BC于E,设BC=2
AB=1/sin10,BD=1/sin10-2
DE=BD*sin80=BD*cos10=cos10/sin10-2cos10
=(cos10-sin20)/sin10
BE=BD*sin10=1-2sin10
CE=BC-BE=1+2sin10
tan∠BCD=DE//CE=(cos10-sin20)/sin10(1+2sin10)
=(sin80-sin20)/(sin10+1-cos20)
=2sin30cos50/(1-2sin30sin50)
=sin40/(1-cos40)=cot20=tan70
所以∠BCD=70
∠BDC=180-80-70=30
用初中方法,则要作辅助线
以AC为一边做等边三角形AEC，连接ED，则角EAD=角BAC+角CAE=80度
在等腰三角形ABC中，角A=20，则角B=角C=80度................1
在三角形ABC与三角形EAD中AB=EA，角ABC=角EAD=80度，BC=AD，则由SAS定理得：三角形ABC与三角形EAD全等
则,角ADE=角ACB=80度 由1式得出DE||BC
由刚刚的全等可以得出，角AED=角BAC=20，所以角DEC=60-角AED=40度；
又由DE=AC（全等三角形对应边），AC=EC，所以DE=EC
所以在等腰三角形DEC中，角DEC=70度
所以（根据同旁内角互补）
角BDC=180度-角EDC-角ABC=180-70-80=30度