- 几何证明题
- 在ΔAB的边BC上向两侧各作正ΔEBC, ΔFBC，求证:
AE^2+AF^2=BC^2+CA^2+AB^2.
- 证明 设F与A同侧，∠C<60°则∠ACF=60°-C，∠ABE=60°+B. 记S是ΔABC的面积，BC=a,CA=b,AB=c。
在ΔABE中据余弦定理得:
AE^2=c^2+a^2-2cacos(60°+B)=c^2+a^2-2ca[(c^2+a^2-b^2)/(4ca)-√3S/(ca)]
AE^2=[a^2+b^2+c^2+4√3S]/2 (1)
在ΔACF中同样可得:
AF^2=[a^2+b^2+c^2-4√3S]/2 (2)
由(1),(2)式得: AE^2+AF^2=BC^2+CA^2+AB^2.