- 边角不等式在ΔABC中，a,b,c是三边长，Δ,s,r分别是ΔA
- 在ΔAB中，a,b,c是三边长，Δ,s,r分别是ΔABC的面积，半周长和内切圆半径。求证:
a*b*c*A*B*C≥(2π/3)^2*r*Δ
- 在ΔABC中，a,b,c是三边长，Δ,s,r分别是ΔABC的面积，半周长和内切圆半径。求证: a*b*c*A*B*C≥(2π/3)^3*r*Δ 。
证明 据已知恒等式[R为外接圆半径]
a*b*c/(r*Δ )=4*R*s*r/r*Δ=4*R*s/Δ
=2(sinA+sinB+sinC)/(sinA*sinB*sinC)
=1/[sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)]。
所以
a*b*c*A*B*C/(r*Δ)=8*{(A/2)*(B/2)*(C/2)/[sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)]}，
对凹函数x/sinx,利用Jensen不等式得:
(A/2)*(B/2)*(C/2)/[sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)]≥(π/3)^3，
故得:a*b*c*A*B*C≥(2π/3)^3*r*Δ。证毕。