- 数学高考难题活学巧练21
- 活学巧练21-新题预测
已知f1(x)、f2(x)是定义在（0，+∞）上的函数，且f1(x)在（0，+∞）上递增，设f(x) 满足f(x)= f1(x)+f2(x)，且对于（0，+∞）上的任意两点相异的实数x1、x2，恒有∣f1(x1)-f1(x2)∣＞∣f2(x1)-f2(x2)∣。
（1） 求证：f (x)在（0，+∞）上是增函数；
（2） 设F(x)= x f (x)，a＞0,b＞0,求证F (a+b) ＞F (a)+ F (b)
- 1、在(0,+∞）任取两点x1,x2,令x1f1(x1)
又f1(x2)-f1(x1)＞∣f2(x1)-f2(x2)∣,
f(x2)-f(x1)>0,故f(x)在(0,+∞）是增函数.
2、F(a+b)-F(a)-F(b)=(a+b)f(a+b)-af(a)-bf(b)
=a[f(a+b)-f(a)]+b[f(a+b)-f(b)],
因f(x)在（0，+∞）上是增函数,且a＞0,b＞0,
故有f(a+b)>f(a),f(a+b)>f(b),
即得F(a+b)-F(a)-F(b)>0,
即F (a+b) ＞F (a)+ F (b)。