- 求解~~~已知三棱锥S
- 已知三棱锥S-AB的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是三角形SBC的垂心,二面角H-AB-C的平面角等于30度,SA^2 = 12.求三棱锥的体积.(99年联赛)
要求有解答过程,最好配图
- 已知三棱锥S-AB的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心,二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA²=12.求三棱锥的体积
如图：A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心
高SE⊥BC--->SA⊥BC；高BG⊥SC--->BA⊥SC (三垂线定理逆定理)
设F是S在底面ABC的射影--->AE⊥BC,AB⊥CD（三垂线定理）
--->F是△ABC的垂心，又△ABC是正三角形--->F是底面中心
--->S-ABC是正三棱锥
AB⊥SCD--->GD⊥AB--->二面角H-AB-C的平面角∠GDC=30°
侧棱SC与底面的角∠SCF=60°
又：SC²=SA²=12--->CF=(SC/2)=√3，SF=3
--->CD=(3/2)CF=3√3/2--->△ABC边长=3
--->V(S-ABC)=(1/3)S(ABC)SF
=(1/3)(√3/4)*3²*3
=9√3/4