- 一个中线不等式设ma,mb,mc为三角形ABC的三条中线,R为其
- 设ma,mb,mc为三角形AB的三条中线,R为其外接圆半径. 求证
8[(ma)^3+(mb)^3+(mc)^3]=<27R^3
- 设ma,mb,mc为三角形ABC的三条中线,R为其外接圆半径. 求证
8[(ma)^3+(mb)^3+(mc)^3]=<27R^3
更正 8[(ma)^3+(mb)^3+(mc)^3]=<81R^3
因为 4R=abc/S S表示三角形面积.
运用三角形中线对偶定理,所证不等式等价于
9S^3*(a^3+b^3+c^3)=<8(ma*mb*mc)^3 (1)
再运用中线不等式:
8R*ma*mb*mc>=(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2 (2)
===>
[(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2]^3>=9(abc)^3*(a^3+b^3+c^3) (3)
(3)式的证明不复杂了.